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《初等數學研究》
學校 班級 座號 姓名 得分
一、選擇題（3×8=24分）
1、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）.
(A)梯形 (B)平行四邊形 (C)弓形 (D)矩形
2、在△ABC中，∠A=58°，AB﹥BC，則∠B 的取值範圍是（ ）.
(A)0°＜∠B＜64° (B)58°＜∠B＜64°
(C)58°＜∠B＜122° (D)64°＜∠B＜172°
3、直角△ABC的斜邊BC在平麵α內，頂點A在平麵α外，則△ABC的兩條直角邊在平麵α內的射影與斜邊BC組成的圖形是（ ）.
(A)一條線段 (B)一個銳角△
(C)一個鈍角△ (D)一條線段或一個鈍角△
4、如圖，在△ABC中，∠A﹕∠B﹕∠C=3﹕5﹕10，又△A′B′C≌△ABC，則∠BCA′﹕∠BCB′等於（ ）.
(A)1﹕2 (B)1﹕4
(C)1﹕3 (D)2﹕3
5、一個凸多邊形，除了一個
內角外，其餘n－1個內角的和是2005°，則n的值是（ ）
(A)12 (B)13 (C)14 (D)以上都不對
6、設△ABC三邊的中點分別為D,E,F,則△ABC與△DEF之間是( ).
(A)相似變換 (B)位似變換
(C)既是相似變換又是位似變換 (D)既非相似變換又非位似變換
7、設X、Y、Z分別是△ABC三邊BC、CA、AB（或其延長線）上的點，則是（ ）.
(A) AX、BY、CZ三線共點的充要條件；
(B) AX、BY、CZ互相平行的充要條件；
(C) AX、BY、CZ三線共點或互相平行的充要條件；
(D) X、Y、Z三點共線的充要條件.
8、在直角三角形中，斜邊上的高為6，並且斜邊上的高把斜邊分成3:2兩段，則斜邊上的中線長是（ ）.
(A) (B) (C) (D)
二、填空題（3×10=30分）
將命題“對頂角相等”寫成假言命題的形式是_
幾何命題的證明方法，從不同的角度考慮，有不同的證法。就命題的結構而言，分為_ ；按思維的方向不同，分為_ ,；從推理形式上，分為_ .
軌跡命題的證明，必須分為_ 和_ 兩個方麵。
初等幾何作圖限製的工具是_ .
三角形中的歐拉（Euler）線是指_ .
歐拉定理是指凸多麵體的_ 之間的關係，其關係式_ .
已知△ABC三邊長a，b，c，對應的三高ha=，hb=，hc= ，則其麵積S=_
有兩根分別為6cm和8cm的木棒，再截一根木棒製作一個鈍角三角形，應截的第三根木棒的長度範圍是_ 或_ cm.
錫瓦(Ceva)定理是證明_ 的有力工具.
10、I是△ABC的內心，∠A=40°，則∠BIC=_
三、解答題（18分）
如圖所示，以△ABC的三邊為邊作三個正三角形△ABF、△ACD、△BCE，
ADEF是什麼圖形？證明你的結論。
△ABC滿足何條件時，ADEF為矩形？
△ABC滿足何條件時，四邊形ADEF退化
為一線段？
四、作圖題（本題14分）
已知△ABC，在BC邊上求作一點P，使AP是PB與PC的比例中項.
五、證明題（14分）
設函數定義在上，當時，且對於任意，有。又當時, 。
求證：
（1）；
（2）對於任意，均有。
《初等數學研究》
學校 班級 座號 姓名 得分
一、選擇題（3×8=24分）
1、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ D）.
(A)梯形 (B)平行四邊形 (C)弓形 (D)矩形
2、在△ABC中，∠A=58°，AB﹥BC，則∠B 的取值範圍是（ A ）.
(A)0°＜∠B＜64° (B)58°＜∠B＜64°
(C)58°＜∠B＜122° (D)64°＜∠B＜172°
3、直角△ABC的斜邊BC在平麵α內，頂點A在平麵α外，則△ABC的兩條直角邊在平麵α內的射影與斜邊BC組成的圖形是（ D ）.
(A)一條線段 (B)一個銳角△
(C)一個鈍角△ (D)一條線段或一個鈍角△
4、如圖，在△ABC中，∠A﹕∠B﹕∠C=3﹕5﹕10，又△A′B′C≌△ABC，則∠BCA′﹕∠BCB′等於（ B ）.
(A)1﹕2 (B)1﹕4
(C)1﹕3 (D)2﹕3
5、一個凸多邊形，除了一個
內角外，其餘n－1個內角的和是2005°，則n的值是（ C ）
(A)12 (B)13 (C)14 (D)以上都不對
6、設△ABC三邊的中點分別為D,E,F,則△ABC與△DEF之間是( C ).
(A)相似變換 (B)位似變換
(C)既是相似變換又是位似變換 (D)既非相似變換又非位似變換
7、設X、Y、Z分別是△ABC三邊BC、CA、AB（或其延長線）上的點，則是（ C ）.
(A) AX、BY、CZ三線共點的充要條件；
(B) AX、BY、CZ互相平行的充要條件；
(C) AX、BY、CZ三線共點或互相平行的充要條件；
(D) X、Y、Z三點共線的充要條件.
8、在直角三角形中，斜邊上的高為6，並且斜邊上的高把斜邊分成3:2兩段，則斜邊上的中線長是（ A ）.
(A) (B) (C) (D)
二、填空題（3×10=30分）
將命題“對頂角相等”寫成假言命題的形式是_如果兩角是對頂角,那麼這兩角相等
幾何命題的證明方法，從不同的角度考慮，有不同的證法。就命題的結構而言，分為_直接證法與間接證法_；按思維的方向不同，分為_,分析法與綜合法,；從推理形式上，分為__歸納法與演繹法._.
軌跡命題的證明，必須分為__完備性(充分性)_和__純粹性(必要性)_兩個方麵。
初等幾何作圖限製的工具是__無刻度的直尺與圓規___.
三角形中的歐拉（Euler）線是指___三角形的外心,重心,垂心所在直線.__.
歐拉定理是指凸多麵體的__頂點數(V)、麵數(F)、棱數(V)_之間的關係，其關係式_ V＋F－E=2.__.
已知△ABC三邊長a，b，c，對應的三高ha=，hb=，hc= ，則其麵積S=_____.
有兩根分別為6cm和8cm的木棒，再截一根木棒製作一個鈍角三角形，應截的第三根木棒的長度範圍是___10
錫瓦(Ceva)定理是證明___線共點___的有力工具.
10、I是△ABC的內心，∠A=40°，則∠BIC=___110°___
三、解答題（18分）
如圖所示，以△ABC的三邊為邊作三個正三角形△ABF、△ACD、△BCE，
ADEF是什麼圖形？證明你的結論。
△ABC滿足何條件時，ADEF為矩形？
△ABC滿足何條件時，四邊形ADEF退化
為一線段？
ADEF是平行四邊形.證明:將△ABC繞B點順時針旋轉60°得△FBE,則FE=AC,而AC=AD,於是FE=AD,類似地,AF=DE,所以ADEF為平行四邊形(也可用三角形全等證之).
2.
3.四邊形ADEF不存在,即ADEF退化成一條線段,這時A,D,E,F在一條直線上, 此 時 的
∠DAF=180°, ∠BAC=360°－(180°＋120°)=60°.所以當∠BAC=60°時,四邊形ADEF不存在.
四、作圖題（本題14分）
已知△ABC，在BC邊上求作一點P，使AP是PB與PC的比例中項.
分析：設點P已作出，且AP2=PB·PC，延長AP交△ABC外接圓⊙O於D，則AP·PD=PB·PC，於是AP=PD，即P是弦AD的中點，連結OP，則OP⊥AP，可見P點在以OA為直確徑的圓上，又在BC上.
作法:作△ABC外接圓⊙O,以OA為直徑作圓交BC於P點,P點即為所求.
證明:連結AP交⊙O於D,由相交弦定理知AP·PD=PB·PC,而OP⊥AD於P,則P為AD之中點,PD=AP,所以AP2=PB·PC.即P點合於條件.
討論:以OA為直徑的圓若與BC相交時,有二解;相切時,有一解;相離時,無解.
五、證明題（14分）
設函數定義在上，當時，且對於任意，有。又當時, 。
求證：
（1）；
（2）對於任意，均有。
證明 (1)由題設有
,
從而或.
若,則對於任意,有
,
這與已知矛盾,從而隻有成立.
(2)由題設及(1)知,當時,;
當時,有,從而,
但,從而
.
從而,對於任意,均有.
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